Verteilungsfunktionen und ihre charakteristischen Kenngrössen

Die Binomialverteilung

Die Verteilungsfunktion in symbolischer Form:

PDF[BinomialDistribution[n,p],k]

Mit konkreten Parameterwerten:

PDF[BinomialDistribution[10,0.4],k]

Der Mittelwert symbolisch:

Mean[BinomialDistribution[n,p]]

Der Mittelwert numerisch :

Mean[BinomialDistribution[10,0.4]]

Die Varianz symbolisch:

Variance[BinomialDistribution[n,p]]

Die Varianz numerisch:

Variance[BinomialDistribution[10,0.4]]

Alternativ nennt man die Varianz auch das zweite zentrale Moment der Verteilung:

Simplify[CentralMoment[BinomialDistribution[n,p],2]]

Die Standardabweichung symbolisch:

StandardDeviation[BinomialDistribution[n,p]]

Die Standardabweichung numerisch

StandardDeviation[BinomialDistribution[10,0.4]]

Ein Plot der Verteilungsfunktion mit bekannten Parametern:

DiscretePlot[PDF[BinomialDistribution[10,0.4],k],{k,0,10}]

Parameterabhängigkeit interaktiv mit Manipulate darstellen:

Manipulate[DiscretePlot[PDF[BinomialDistribution[n,p],k],{k,0,n}],{{n,30},2,30,1},{{p,0.4},0,1}]

Zufallszahlen aus der Binomialverteilung ziehen und Histogram plotten:

r = RandomVariate[BinomialDistribution[10,0.4],1000];

Histogram[r,{-0.5,10.5,1},"Probability",LabelStyle->18,AxesLabel->{"k","prob(k|n,p)"}]

Die Poissonverteilung

PDF[PoissonDistribution[μ],x]

PDF[PoissonDistribution[5],x]

Mean[PoissonDistribution[μ]]

Mean[PoissonDistribution[5]]

Variance[PoissonDistribution[μ]]

Variance[PoissonDistribution[5]]

CentralMoment[PoissonDistribution[μ],2]

StandardDeviation[PoissonDistribution[μ]]

StandardDeviation[PoissonDistribution[5.0]]

DiscretePlot[PDF[PoissonDistribution[5],k],{k,0,15}]

Manipulate[DiscretePlot[PDF[PoissonDistribution[μ],k],{k,0,30},PlotRange->All],{{μ,10},1,30}]

Zufallszahlen aus der Poissonverteilung ziehen und Histogram plotten:

r = RandomVariate[PoissonDistribution[5],10000];

Histogram[r,{-0.5,15.5,1},"Probability",LabelStyle->18,AxesLabel->{"k","prob(k|μ)"}]

Die Gammaverteilung

PDF[GammaDistribution[α,β],x]

PDF[GammaDistribution[4,1],x]

Mean[GammaDistribution[α,β]]

Mean[GammaDistribution[4,1]]

Variance[GammaDistribution[α,β]]

Variance[GammaDistribution[4,1]]

CentralMoment[GammaDistribution[α,β],2]

StandardDeviation[GammaDistribution[α,β]]

StandardDeviation[GammaDistribution[4,1]]

Plot[PDF[GammaDistribution[4,1],x],{x,0,10}]

Manipulate[Plot[PDF[GammaDistribution[α,β],x],{x,0,20},PlotRange->All],{{α,4},1,10},{{β,1},0.1,10,0.1}]

Zufallszahlen aus der Gammaverteilung ziehen und Histogram plotten:

r = RandomVariate[GammaDistribution[4,1],100000];

Histogram[r,{-0.1,10.1,0.2},"ProbabilityDensity",LabelStyle->18,AxesLabel->{"x","prob(x|α,β)"}]

Die Normalverteilung

PDF[NormalDistribution[μ,σ],x]

PDF[NormalDistribution[5,2],x]

Mean[NormalDistribution[μ,σ]]

Mean[NormalDistribution[5,2]]

Variance[NormalDistribution[μ,σ]]

Variance[NormalDistribution[5,2]]

CentralMoment[NormalDistribution[μ,σ],2]

StandardDeviation[NormalDistribution[μ,σ]]

StandardDeviation[NormalDistribution[5,2]]

Plot[PDF[NormalDistribution[5,2],x],{x,-5,15}]

Manipulate[Plot[PDF[NormalDistribution[μ,σ],x],{x,-5,15},PlotRange->All],{{μ,5},0,10},{{σ,2},0.1,5}]

Zufallszahlen aus der Normalverteilung ziehen und Histogram plotten:

r = RandomVariate[NormalDistribution[5,2],100000];

Histogram[r,{-3.1,12.1,0.2},"ProbabilityDensity",LabelStyle->18,AxesLabel->{"x","prob(x|μ,σ)"}]

Die Studentsche t-Verteilung

PDF[StudentTDistribution[μ,β,ν],x]

PDF[StudentTDistribution[4,2,3],x]

Mean[StudentTDistribution[μ,β,ν]]

Mean[StudentTDistribution[4,2,3]]

Variance[StudentTDistribution[μ,β,ν]]

Variance[StudentTDistribution[4,2,3]]

CentralMoment[StudentTDistribution[μ,β,ν],2]

StandardDeviation[StudentTDistribution[μ,β,ν]]

StandardDeviation[StudentTDistribution[4,2,3]]

Plot[PDF[StudentTDistribution[4,2,3],x],{x,-5,15}]

Manipulate[Plot[PDF[StudentTDistribution[μ,β,ν],x],{x,-5,15},PlotRange->All],{{μ,4},0,10},{{β,2},0.1,5},{{ν,2},2,100}]

Zufallszahlen aus der Studentschen t-Verteilung ziehen und Histogram plotten:

r = RandomVariate[StudentTDistribution[4,2,3],100000];

Histogram[r,{-5.1,15.1,0.2},"ProbabilityDensity",LabelStyle->18,AxesLabel->{"x","prob(x|μ,σ,ν)"}]

Die inverse Gammaverteilung

PDF[InverseGammaDistribution[ν,β],x]

PDF[InverseGammaDistribution[4,1],x]

Mean[InverseGammaDistribution[ν,β]]

Mean[InverseGammaDistribution[4,1]]

Variance[InverseGammaDistribution[ν,β]]

Variance[InverseGammaDistribution[4,1]]

CentralMoment[InverseGammaDistribution[ν,β],2]

StandardDeviation[InverseGammaDistribution[ν,β]]

StandardDeviation[InverseGammaDistribution[4,1]]

Plot[PDF[InverseGammaDistribution[4,1],x],{x,0,1},PlotRange->All]

Manipulate[Plot[PDF[InverseGammaDistribution[ν,β],x],{x,0,1},PlotRange->All],{{ν,4},2,100},{β,1,10}]

Zufallszahlen aus der inversen Gammaverteilung ziehen und Histogram plotten:

r = RandomVariate[InverseGammaDistribution[4,1],100000];

Histogram[r,{-0.01,1.01,0.02},"ProbabilityDensity",LabelStyle->18,AxesLabel->{"x","prob(x|ν,β)"}]